- 令
,
,則當![{\displaystyle \beta =1,2,4,7,10,15,16,17,...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/226e5a299624d22f914beca5a753ae76a8e67e32)
得
- 令
,
,則當![{\displaystyle \beta =3,5,6,9,11,12...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe3461f3b84361f99d4be8d92ad36d27cf39be5a)
得
由此看到當n不是整數的時候,歐拉公式之指數運算時對時錯,難道是微積分錯了?當然不可能,那是怎麽回事呢,希望引起讀者對這些定理深刻地思考
上面的推断是错误的。
首先,让我们重新表达给定的参数:
令 , 。
现在,让我们来计算 :
在这里,我们使用了欧拉公式: 。
现在,我们注意到 是一个复数,因为 是一个不是整数的实数。所以我们可以将 表示为:
接下来,我们应用幂运算的性质:
但是这里有一个错误:在计算中,我们假设 是整数,然后将 与 相乘,这是不正确的。由于 是复数,我们不能简单地按照实数幂的规则进行处理。
所以结论是:当 不是整数时,我们不能简单地将欧拉公式的指数运算应用于 。正确的处理需要使用复数幂的定义,这超出了欧拉公式的简单形式。
——BlackShadowG(留言) 2023年7月27日 (四) 15:20 (UTC)