微積分之研究

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思考

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由此看到當n不是整數的時候,歐拉公式之指數運算時對時錯,難道是微積分錯了?當然不可能,那是怎麽回事呢,希望引起讀者對這些定理深刻地思考

回應

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上面的推斷是錯誤的。

首先,讓我們重新表達給定的參數:

  

現在,讓我們來計算 

 

在這裡,我們使用了歐拉公式: 

現在,我們注意到 是一個複數,因為 是一個不是整數的實數。所以我們可以將 表示為:

 

接下來,我們應用冪運算的性質:

 

但是這裡有一個錯誤:在計算中,我們假設 是整數,然後將  相乘,這是不正確的。由於 是複數,我們不能簡單地按照實數冪的規則進行處理。

所以結論是:當 不是整數時,我們不能簡單地將歐拉公式的指數運算應用於 。正確的處理需要使用複數冪的定義,這超出了歐拉公式的簡單形式。

——BlackShadowG留言) 2023年7月27日 (四) 15:20 (UTC)