微积分之研究

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思考

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由此看到当n不是整数的时候,欧拉公式之指数运算时对时错,难道是微积分错了?当然不可能,那是怎么回事呢,希望引起读者对这些定理深刻地思考

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上面的推断是错误的。

首先,让我们重新表达给定的参数:

  

现在,让我们来计算 

 

在这里,我们使用了欧拉公式: 

现在,我们注意到 是一个复数,因为 是一个不是整数的实数。所以我们可以将 表示为:

 

接下来,我们应用幂运算的性质:

 

但是这里有一个错误:在计算中,我们假设 是整数,然后将  相乘,这是不正确的。由于 是复数,我们不能简单地按照实数幂的规则进行处理。

所以结论是:当 不是整数时,我们不能简单地将欧拉公式的指数运算应用于 。正确的处理需要使用复数幂的定义,这超出了欧拉公式的简单形式。

——BlackShadowG留言) 2023年7月27日 (四) 15:20 (UTC)